?

Log in

No account? Create an account

July 22nd, 2012

Привет от президента

В длительных путешествиях на авто приходится встречаться с таким досадным явлением, как пробки на хайвэе. Потолкавшись в пробке, иногда длительное время, выезжаешь из нее, как ни в чем не бывало, абсолютно не понимая, в чем было дело. Часто никакой видимой причины, почему эта пробка возникла, просто нет. От этого становится только досаднее, что потерял столько времени без какой-либо причины.


Когда меня такое дело основательно достало, я решил разобраться в чем причина «беспричинного» стояния на дороге. Оказалось, что все в мире просто. Даже в мире дорожных пробок. Движение по дороге в первую очередь определяет уравнение сохранения потока движения, согласно которому изменение плотности движения (ρ) в точке x на дороге точно компенсируется изменением потока машин в этот момент времени. Поток машин в точке x и в момент времени t равен произведению плотности машин на дороге ρ(x,t) на скорость потока u(x,t). Это многословие математик выразил бы просто:


dt ρ + dx (ρ * u) = 0


Если учесть, что скорость потока простым образом зависит от его плотности – при минимальной плотности ρmin скорость максимальна umax и наоборот, то в конце концов получается уравнение, напоминающее волновое. И тут начинает проясняться – если так, то твоя скорость движения по дороге ни что иное, как волновая функция, зависящая от решения этого уравнения с пограничными условиями на некий начальный момент времени t0 и в некой удаленной точке x0. Причем этот t0 мог быть еще за долго до того, как тебе в голову пришла мысль отправиться в путешествие.


Самый простой и всем понятный пример распространяющейся волны на дороге возникает если кому-то в голову приходит ее перекрыть для проезда кортежа президента. Машины от головы пробки начинают накапливаться и фронт волны бежит против движения. Скорость этого фронта определяется простым решением уравнения, которое еще в позапрошлом веке нашли независимо друг от друга британский физик Вильямс Ранкин и французский математик Пьер Гюгонио:


v = ρmin * umax / (ρmax - ρmin)


Самоочевидо, что ρmax соответствует плотности глухо стоящей пробки из машин бампер в бампер.


Чтобы никого больше не утомлять уравнениями, далее объясню на пальцах. Предположим, кортеж президента проехал и дорогу открыли. Тогда первый ряд машин тронется, за ним чуть позже второй ряд и так далее. Кажется, что пробка начинает рассасываться. Как бы не так! Сзади этой пробки продолжают накапливаться новые машины. В результате стоячая пробка, как одинокая волна начинает перемещаться по дороге с той же скоростью v в сторону, противоположную движению. И если эта скорость близка к скорости рассасывания переднего фронта пробки, то плотная стоячая пробка самостоятельно побежит по шоссе далеко от того места, где проехал кортеж. Так президент сможет послать привет на большие расстояния.


Теперь, стояние в пробке, по крайней мере для меня, не станет досадной потерей времени – буду искать решение очередного волнового уравнения.

Profile

Golden Gate
afrikanbo
Андрей Ростовцев

Latest Month

July 2014
S M T W T F S
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031  

Tags

Powered by LiveJournal.com
Designed by Michael Rose